WPS7819 Policy Research Working Paper 7819 The Globe and the Circle Geometry and Economic Geography as Tribute to Thales and Nash Kaushik Basu Development Economics Vice Presidency Office of the Chief Economist September 2016 Policy Research Working Paper 7819 Abstract The geometry of the line and the circle has been used the spirit of recreational geometry, the paper is focused in economics for a long time to understand location on demonstrating some abstract results concerning Nash choice and political positioning in democratic polity. equilibria on the globe. It is hoped that this will help us This paper draws on some elementary ideas from geom- understand better the robustness of median voter theo- etry and game theory to extend some of the analysis to rems and why stores position themselves the way they do. beyond lines and circles, to the globe or the sphere. In This paper is a product of the Office of the Chief Economist, Development Economics Vice Presidency. It is part of a larger effort by the World Bank to provide open access to its research and make a contribution to development policy discussions around the world. Policy Research Working Papers are also posted on the Web at http://econ.worldbank.org. The author may be contacted at kbasu@worldbank.org or kb40@cornell.edu. The Policy Research Working Paper Series disseminates the findings of work in progress to encourage the exchange of ideas about development issues. An objective of the series is to get the findings out quickly, even if the presentations are less than fully polished. The papers carry the names of the authors and should be cited accordingly. The findings, interpretations, and conclusions expressed in this paper are entirely those of the authors. They do not necessarily represent the views of the International Bank for Reconstruction and Development/World Bank and its affiliated organizations, or those of the Executive Directors of the World Bank or the governments they represent. Produced by the Research Support Team The Globe and the Circle  Geometry and Economic Geography as Tribute to Thales and Nash   Kaushik Basu  The World Bank and Cornell University  Key words:   sphere, circle, store location, electoral democracy, Nash equilibrium  1. The Problem and the Backdrop    This paper, located between school geometry, political economy, and game theory, is constructed  around  a  simple  problem.  Consider  a  globe,  which,  somewhat  like  the  Earth,  is  a  sphere.  People  live  all  over the globe, uniformly distributed, that is, the number of people living within any two square kilometer  spaces is the same. Suppose on this globe there is a rotary or a circle. There are n stores that have to be  located on this rotary, and all customers prefer to go to the store nearest to their location (traveling along  the globe) and, when indifferent between k stores in terms of distance, each person chooses to buy from  a  store  chosen  by  applying  equal  probability  to  all  k  stores.  The  aim  of  each  store  is  to  maximize  the  number of customers, that is, the people who shop from the store. This paper is an analysis of where the  stores will locate themselves. After all stores have chosen a location, I shall refer to that as a ‘placement’  of stores. A placement of stores is an equilibrium if, given the location of the other stores, no single store  in that placement can do better by changing its location unilaterally.   There is literature investigating similar questions for cases where people live on a line or a plane.  In some ways, it dates back to the early contributions to economic geography, such as von Thunen (1826).  Recently,  in  Basu  and  Mitra  (2016),  we  tried  to  provide  a  characterization  of  Nash  equilibria  on  a  circle.  The main aim of the present paper is to extend the analysis to the globe and develop a methodology for  translating the globe to the circle, and then to establish some simple properties of Nash equilibria. Given  that location problems and the analysis of electoral voting have some common mathematical foundations,  it  is  hoped  that  this  exercise  will  be  of  interest  to  those  analyzing  voting  patterns  and  electoral  politics,  even  though  the  problem  is  presented  in  this  paper  as  an  abstract  exercise  in  geometry.  The  result  established in the paper tells us about the largest stretch of consumers who may be left unattended by a  nearby store in equilibrium and, by analogy, the stretch of voters who may be left without any candidate  offering  a  platform  close  to  their  ideal.  But  the  purpose  of  the  paper  is  not  so  much  the  result  as  an  exercise in recreational geometry, in the spirit of Basu (2016), which also hones one’s skill at this kind of  analysis, which the reader can then use depending on the problem that he or she has to solve.      2. Thales and Nash   The  paper  is  meant  to  be  a  tribute  to  two  remarkable  thinkers,  Thales  of  Miletus,  who  was  the  progenitor of the geometry of circles, and John Nash of Princeton, the eponymous creator of the concept  of equilibrium, which is central to game theory. While we know a lot about Nash, our knowledge of Thales  is  full  of  gaps.  He  was  born  in  Miletus  a  good  half‐century  before  Pythagoras,  but  the  exact  year  is  not  known, probably between 625 and 620 BC. He is considered one of the seven sages of Greece, but some  claim he was not Greek, but Phoenician. Thales adopted a child but never got married. Asked in his youth,  he allegedly said he was too young to marry; questioned many years later, he said he was too old to marry.  There is no record of what answer he  gave in the interim. What we do know about him with  certainty is  that  he  was  a  staggering  intellectual,  with  interest  in  and  contribution  to  philosophy,  engineering,  astronomy, and, most importantly, geometry. As Bertrand Russell observed in the opening chapter of his  classic, History of Western Philosophy, “Western philosophy began with Thales” (Russell, 1946, p.25). He  may  well  be  the  first  person  who  developed  the  concept  of  deductive  proofs.  And  he  was  the  master  of  the circle. While the properties of the circle were known from the time of the invention of the wheel and  certainly to the Egyptians, the first theorems concerning the circle were the discovery of Thales. This paper  2    is  a  tribute  to  Thales,  since  so  much  of  it  is  about  the  geometry  of  circles.  In  the  next  section  it  will  be  shown how the fact that people live all over the globe can be transformed to a mathematically equivalent  problem  in  which  people  live  all  over  a  circle;  and  then,  using  this  I  will  demonstrate  some  results  pertaining to the globe.  The other key figure for this paper is John Nash (1928‐2015). Born on June 13, in Bluefield, West  Virginia, Nash made important scientific contributions to numerous fields, including differential geometry,  singularity theory, and most importantly game theory and the creation of a concept of equilibrium that is  central  to  contemporary  economic  analysis.  His  achievements  are  all  the  more  remarkable  because  schizophrenia claimed him by the time he was 30 years old. So all his staggering achievements had to be  squeezed  into  six  or  seven  crowded  years.  In  keeping  with  this  remarkable  brevity  was  his  PhD  thesis  in  mathematics  from  Princeton  University—just  28  pages  long.  A  personal  reason  for  me  to  want  to  give  a  tribute  to  Nash  is  an  encounter  with  him  in  2003.  This  was  at  a  conference  on  game  theory  in  Mumbai,  partly  to  honor  John  Nash,  who  had  by  then  won  the  Nobel  Prize  (1994),  and  his  schizophrenia  was  in  some  remission,  though  he  was  still  clearly  distracted  and  unmindful.  As  I  began  presenting  my  paper,  I  was touched to see Nash walk in and sit down in the front row. I was nervous at the thought of speaking  of  Nash  equilibria  in  Nash’s  presence.  But  I  need  not  have  been,  for  he  fell  asleep  within  the  first  five  minutes and did not wake up till people clapped at the lecture’s end.         3. Spheres and Circles  The  location  problem  described  in  the  opening  section  has  people  staying  all  over  a  globe  or  a  sphere and buying from the nearest store located on a rotary or a circle. The first result I want to establish  is  an  equivalence.  If  the  people,  instead  of  being  uniformly  distributed  on  the  sphere,  were  instead  uniformly  distributed  on  the  rotary  or  circle  where  the  stores  are  located,  with  the  rest  of  the  sphere  uninhabited,  the  mathematical  problem  would  be  exactly  the  same.  Indeed,  there  is  a  general  principle  regarding  how  any  distribution  (not  necessarily  uniform)  on  a  sphere  can  be  converted  to  an  equivalent  distribution on a circle and then for the analysis to be done on a circle.    To  establish  this,  I  first  need  a  sphere.  Fortunately,  we  have  a  readymade  one.  The  World  Bank  Group logo turns out to be just what we need for this exercise. The logo is reproduced in Figure1. Suppose  people live all over this sphere and the rotary on which all stores are to be located happens to be the circle  going through A, J, and B.   What I will first establish is an easy way to locate how a person living anywhere on the sphere will  choose  which  store  to  go  to  (recall  people  go  to  the  nearest  store).  To  do  this,  label  the  center  of  the  rotary  (on  the  sphere)  as  N.  This  is  as  shown  in  Figure  1.   I  shall  refer  to  this  as  the  ‘relative  North  Pole,’  that  is,  relative  to  the  circle.  Mark  the  opposite  point  (not  shown  in  the  figure)  as  S,  the  relative  South  Pole.  Next draw the latitude and longitude lines on the sphere with reference to these two poles, N and  S.  These  will  be  called  the  ‘relative’  latitude  and  longitude  lines.  They  are  the  lines  drawn  relative  to  the  starting circle. If the starting circle was elsewhere, the relative latitude and longitude lines would, typically,  be elsewhere. Luckily, the World Bank logo comes with these latitude and longitude lines marked. These  lines are on display in Figure 1.     3    Figure 1      Consider  two  stores  A  and  B  and  a  person  or  customer  located  at  some  randomly‐chosen  point,  say  P,  on  the  globe.  Now  suppose  for  the  person  at  P,  instead  of  going  directly  to  the  store,  he  chooses  the  following  route.  First,  travel  along  the  (relative)  longitude  line  to  the  rotary,  i.e.,  the  circle  going  through A, J, and B, and then travel on the rotary to the store. Let me call this kind of travel as the ‘scenic  route’. So if a person at P wants to go to A by the scenic route, she first goes to J and then goes along the  rotary to A.   It  is  easy  to  verify  that  for  a  person  at  P,  A  is  closer  than  B  if  and  only  if  the  scenic  route  to  A  is  shorter  than  the  scenic  route  to  B.  Here  is  the  hint  of  how  to  prove  this.  Consider  a  point  on  the  rotary  that  is  to  the  east  of  J  such  that  the  distance  AJ  is  the  same  as  the  distance  between  J  and  this  point.  Clearly I is such a point. It is obvious (by visualizing an isosceles triangle on the sphere) that the distance  AP  is  the  same  as  IP  (since  the  distance  AJ  equals  IJ).  Hence,  if  store  A  is  closer  to  P  than  B  by  the  direct  route, it must be closer also by the scenic route.   Now  suppose  we  relocate  each  person  from  where  she  lives  to  the  point  of  intersection  of  the  (relative) longitude line on which she lives and the rotary. Given the relative equivalence of the direct and  scenic routes, this will cause no change in the decision of which store the person goes to.   If we do this kind of relocation of people, the entire population of the world will be living on the  rotary,  uniformly  distributed,  with  the  rest  of  the  world  uninhabited.  Since  this  does  not  change  their  choice  of  store,  for  a  store  trying  to  decide  where  to  locate,  this  world  is  identical  to  the  previous  one  where  people  live  all  over  the  globe.  In  other  words,  we  are  now  in  familiar  two‐dimensional  territory,  where people live uniformly distributed on a circle, and stores face the challenge of where to locate.   Indeed,  now  we  are  in  a  position  to  state  a  more  general  equivalence  result.  Start  with  any  distribution  of  population  on  the  sphere.  It  does  not  have  to  be  uniform.  It  is  easy  to  convert  this  to  an  equivalent distribution on the circle on which the stores are to be located so that a Nash equilibrium based  on the distribution on the circle will be identical to the Nash equilibrium using the original distribution on  the  sphere.  For  this,  the  rule  is  the  following.  Move  all  the  people  on  each  relative  longitude  line  to  the  4    point  of  intersection  of  this  line  with  the  original  circle.  In  Figure  1,  this  means  moving  all  those  on  the  circle through NJP to be relocated at J. If this is done for all points, the new distribution of population on  the circle AJIB is, for purposes of Nash equilibrium analysis, identical to when people were living all over  the sphere. In other words, we can, from now on, convert all location problems where people live all over  the  globe  to  a  two‐dimensional  analysis.  Fortunately,  location  analysis  in  two  dimensions  has  a  long  history, from Hotelling (1929) to recent times, such as Gulati and Ray (2015), Basu and Mitra (2016), and  many  contributions  in  between.1 Now,  using  this  equivalence  between  the  sphere  and  the  circle,  I  shall  prove  two  results,  one  new  and  one  that  appears  in  Basu  and  Mitra  (2016)  but  is  done  somewhat  differently here.     4. Lemma and Theorem  Given  the  result  in  the  previous  section,  we  can  now  pretend  that  all  people  live  uniformly  distributed  along  the  circle,  where  the  stores  have  to  choose  their  location.  We  shall,  for  simplicity,  assume  that  the  length  of  the  circle,  that  is,  of  the  circumference,  is  1  and  the  total  population  living  on  the circle is 1. So the number of people or customers living on an arc of length x is x. People buy from the  nearest  store.  Each  store’s  aim  is  to  maximize  the  number  of  customers,  i.e.,  people  who  buy  from  the  store. A ‘Nash equilibrium’ is a choice of location by all firms such that no firm can do better by making a  unilateral move to another location on the circle. Given a placement of stores on the circle and given any  point, we refer to the maximum arc of the circle around that point with no stores (except possibly some  stores at that point itself) as the ‘customer neighborhood’ of that point. A store is described as ‘isolated’  if there is no other store at the same point.   It  is  useful  for  the  uninitiated  to  hone  intuition  by  checking  that  all  locations  are  Nash  equilibria  when  n=2.  Suppose  there  are  two  stores,  1  and  2,  located  on  the  circle.  If  they  are  at  the  same  point,  everybody is indifferent between the two stores and so each store will get an expected half the customers.  Let  us  now  consider  the  case  where  1  and  2  are  in  different  places,  as  in  Figure  2.   Let  A  and  B  be  the  midpoints on the two arcs between 1 and 2.    Clearly, half the people living on the stretch between 1 and 2 on the eastern arc (the halfway point  being marked by A) will go to 1 and half to 2. And half the people on the western arc will go to 1 and half  to 2. Hence, half the entire population will go to 1 and half to 2. Since we reached this conclusion without  knowing  exactly  where  1  and  2  are,  half  the  customers  go  to  1  and  half  to  2  no  matter  where  they  are.   Thus all store placements are Nash equilibria when n=2. From here on we assume n > 2.                                                                         1  See, for instance, D’Aspremont, Gabszewicz, and Thisse (1979); Salop (1979); Basu (1993); Osborne (1995); Pal  (1998).  5    Figure 2    Let me now state a lemma (Basu and Mitra, 2016) and prove it, for completeness.  Lemma.  If there is a placement of stores such that 3 or more stores are located at one point, then  that placement cannot be a Nash equilibrium.  Proof.    Let  there  be   ( n)  stores  at  one  point.  Suppose   is  the  length  of  the  customer  neighborhood  of  this  point.  It  follows  that  each  store  at  that  point  gets  customers  equal  to  a  payoff  of    . By deviating, one of those stores can earn at least as much as    .  But  if   >  2,  then       >  .  Hence,  wherever  3  or  more  stores  are  located  at  one  point,  that  cannot be a Nash equilibrium.                   □    In stating the next theorem, let me clarify that after the stores have chosen their location, that is,  we have a placement of stores, any stretch of the circle that  does not have a  store will be  referred to as  an ‘empty stretch’.   There can be many ways to characterize the Nash equilibrium placements. Most such exercise can  be complex. One full characterization was provided in Basu and Mitra (2016). What I will provide here is  one simple property of Nash equilibria, which can be proved using no more than school geometry.     Theorem.  If a placement of stores is such that there is an empty stretch with length greater than  n/2, then that placement cannot be a Nash equilibrium.  Proof.   Suppose  the  longest  empty  stretch  is  between  stores  1  and  2  and  it  is  of  length  x  >  n/2.   First consider the case where 1 and 2 do not share their location with any other store. It is possible to see  that the average number of consumers going to each of the other stores 3, 4, …, n, is at most      .  6    To see this, suppose the stores neighboring 1 and 2 (call them 3 and n) are very close to 1 and 2.  Then 3, 4, …, n get almost all the  customers living on the stretch of length 1 – x, which is the complement  of the empty stretch between 1 and 2. This is illustrated in Figure 3.   It is easy to see, as 3 and n get closer to 1 and 2, respectively, the average market share of firms  3, 4, …, n, approaches   .     Figure 3      If  any  of  these  firms  deviates  to  the  empty  stretch  between  1  and  2,  it  will  obviously  get  x/2  customers. It follows that this placement is not Nash if             >    .                                (1)    It is easy to verify, if x >   ,  then (1) has to be true.  Hence, the placement is not Nash.  Now consider the case where 1 and 2 are not isolated. Assume 3 is located at the same spot as 2.   Let 4 be the next store and let the distance between 3 and 4 be y. Since x was the longest empty stretch,  y ≤ x. Suppose y < x. Then it cannot be Nash, since store 3, that is currently earning      could do better  by moving to the stretch between 1 and 2, which would give it a payoff of x/2. So now suppose y = x.   Assume, first, store 4 is alone at that point, as shown in Figure 4. Then the remaining n‐4 stores,  by the same logic as before, would be earning on average at most     .   7    If one of those firms deviates to the longest empty stretch, it will earn  x/2. It follows the current  placement is not Nash if     >     .                               (2)      Figure 4      It is easy to verify, if x >   ,  (2) must be true. Hence, the placement is not Nash.  What if 4 is not alone where it is but shares the spot with store 5? By the same logic as before, it  can  be  shown  that  the  placement  cannot  be  Nash  if  x  >     .  Up  to  now  we  have  considered  cases  where  stores are either alone at a spot or in pairs. What happens if more than 2 stores locate at the same point?  By the above lemma, such a placement cannot be Nash.              □    What we have thus proved is that when n stores locate themselves on a notary if there is an empty  stretch longer than   , the placement cannot be a Nash equilibrium.     5. Conclusion and Apology   The paper is meant to demonstrate the elegance and aesthetics of geometry on a sphere, which  can be used to understand the economics of location or economic geography. The one theorem that was  proved, though new, is sufficiently easy not to constitute a challenge. This is one area where one does not  need  pre‐established  results.  I  wanted  to  demonstrate  that  with  one’s  school  geometry  honed,  one  can  be  ready  to  take  on  problems  as  and  when  they  come  along.  What  was  important  was  the  equivalence  8    claims in section 3, which shows that a large class of location problems on a sphere can be converted to a  two‐dimensional exercise on a circle. Honing the technique of analysis used here is important because it  constitutes  the  abstract  backdrop  of  understanding  location  economics  and  the  political  economy  of  electoral democracy.     9      References    Basu, K. (1993), Lectures in Industrial Organization Theory, Oxford: Blackwell Publishers.  Basu, K (2016), ‘A New and Quite Long Proof of the Pythagoras Theorem By Way of a Proposition on  Isosceles Triangles,’ Journal of College Mathematics, forthcoming.  Basu, K. and Mitra, T. (2016), ‘Nash on a Rotary: Two Theorems with Implications for Electoral  Politics,’ World Bank Policy Research Working Paper, No. 7701.  D’Aspremont, C., Gabszewicz, J. J. and Thisse, J. F. (1979), ‘On Hotelling’s Stability in Competition,’     Econometrica,  vol. 47.  Gulati, N. and Ray, T. (2016), ‘Inequality, Neighbourhoods and Welfare of the Poor,’ Journal of  Development Economics, vol. 122.  Hotelling, H.  (1929), ‘Stability in Competition,’ Economic Journal, vol. 39.  Osborne, M. J. (1995), ‘Spatial Models of Political Competition under Plurality Rule,’ Canadian Journal of  Economics, vol. 28.  Pal, D. (1998), ‘Does Cournot Competition Yield Spatial Agglomeration?’ Economic Letters, vol. 60.  Russell, B. (1946), History of Western Philosophy, Allen and Unwin, London.  Salop, S. C. (1979), ‘Monopolistic Competition with Outside Goods,’ Bell Journal of Economics, vol. 10.  von Thunen, J. H. (1826), Der Isolierte Staat (The Isolated State), Hamburg: Perthes    10